閥門定位器和氣動(dòng)調(diào)節(jié)閥配套使用能提高閥門位置的線性度，克服閥桿的摩擦力及消除調(diào)節(jié)閥的不平衡力的影響，從而保證閥門開度的準(zhǔn)確度。為了使閥門開度達(dá)到一定的精度，必須使執(zhí)行機(jī)構(gòu)位置反饋系統(tǒng)達(dá)到相應(yīng)的精度。也就是說，如果將定位器的基本誤差定為±A%，那么位置反饋系統(tǒng)的精度也應(yīng)達(dá)到±A%。

    要將執(zhí)行機(jī)構(gòu)的直線位移轉(zhuǎn)變?yōu)殚y門定位器所需的轉(zhuǎn)角位移，常見的有兩種機(jī)構(gòu)，一種是正切機(jī)構(gòu)，另一種是正弦機(jī)構(gòu)（見圖1）。不妨設(shè)定，通過反饋桿轉(zhuǎn)軸并垂直于閥桿的直線是基準(zhǔn)線，這兩種機(jī)構(gòu)的反饋桿擺角幅度相等，且執(zhí)行機(jī)構(gòu)的行程參數(shù)一致，即設(shè)直行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)的額定行程為L(zhǎng)，反饋桿轉(zhuǎn)軸到閥桿的距離為L(zhǎng)₁（正切機(jī)構(gòu)）、L₂（正弦機(jī)構(gòu)），反饋桿與基準(zhǔn)線的夾角為θ，執(zhí)行機(jī)構(gòu)在基準(zhǔn)線一側(cè)的行程為L(zhǎng)₀，反饋桿與基準(zhǔn)線的夾角的極限值為θ₁。我們所要求的反饋系統(tǒng)允許總誤差[ΔL]是±A%L，分為系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差兩項(xiàng)，其中要將系統(tǒng)誤差限制在允許總誤差的1/3的范圍內(nèi)，故取誤差分配系數(shù)α=1/3。

    1 正切機(jī)構(gòu)和正弦機(jī)構(gòu)

    正切機(jī)構(gòu)，L₀=L₁tgθ；正弦機(jī)構(gòu)，L₀=L₂sinθ。這兩種機(jī)構(gòu)都是非線性的。

    根據(jù)正切機(jī)構(gòu)和正弦機(jī)構(gòu)的函數(shù)，將它們求微分，并將dL₀和dθ分別用[ΔL]和[Δθ]代替，則位置允許誤差[ΔL]引起的軸Q₁轉(zhuǎn)角允許誤差[Δθ]可表示為

    正切機(jī)構(gòu)：[Δθ]=[ΔL]cos²θ/L₁    （1）
    正弦機(jī)構(gòu)：[Δθ]=[ΔL]/L₂cosθ     （2）

    由式（1）、式（2）可知，轉(zhuǎn)角允許誤差[Δθ]并非常數(shù)，轉(zhuǎn)角θ在基準(zhǔn)線上下各90°的范圍內(nèi)。相對(duì)于正切機(jī)構(gòu)，若θ的絕對(duì)值增大，則[Δθ]減小，所以要在機(jī)構(gòu)所允許的轉(zhuǎn)角極限位置θ₁處，用位置允許誤差[ΔL]來計(jì)算轉(zhuǎn)角允許誤差，這時(shí)求得的[Δθ]是*嚴(yán)格的。相對(duì)于正弦機(jī)構(gòu)，[Δθ]隨著θ絕對(duì)值的增大而增大，因此要在反饋桿和基準(zhǔn)線重合時(shí)計(jì)算轉(zhuǎn)角允許誤差，此時(shí)對(duì)于式（2），θ=0°。注意，θ₁是反饋桿偏離基準(zhǔn)線的轉(zhuǎn)角，它可以在基準(zhǔn)線的上方，也可以在其下方。在這個(gè)極限位置上，對(duì)于正切機(jī)構(gòu)，tgθ₁=L_max/L₁，對(duì)于正弦機(jī)構(gòu)，cos0°=1，sinθ₁=L_max/L₂，（ L_max為反饋桿在極限位置時(shí)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的行程），將它們分別代入式（1）、式（2），可得

    正切機(jī)構(gòu)：[Δθ]=[ΔL]sinθ₁cosθ₁/L_max=[ΔL]sin2θ₁/2L_max     （3）
    正弦機(jī)構(gòu)：[Δθ]=[ΔL]sinθ₁/L_max                             （4）

    在極限轉(zhuǎn)角為θ₁的情況下，式（3）代表了正切機(jī)構(gòu)在轉(zhuǎn)角處的轉(zhuǎn)角允許誤差，式（4）代表了正弦機(jī)構(gòu)在反饋桿和基準(zhǔn)線重合時(shí)的轉(zhuǎn)角允許誤差，它們分別代表了對(duì)這兩種機(jī)構(gòu)*嚴(yán)格的要求。

    根據(jù)式（3）、式（4），在[0，45°]區(qū)域，隨著θ₁的增大，[Δθ]也增大，當(dāng)45°≤θ₁≤90°時(shí)，式（3）的[Δθ]隨著θ₁的增大而減小，式（4）的[Δθ]反之。如果θ₁過大，會(huì)對(duì)反饋機(jī)構(gòu)的尺寸造成一些限制，給設(shè)計(jì)、加工和裝配帶來不便。因此，可設(shè)不論是正切機(jī)構(gòu)還是正弦機(jī)構(gòu)，在執(zhí)行機(jī)構(gòu)滿行程時(shí)，反饋桿擺角均為±45°（基準(zhǔn)線是x軸），此時(shí)轉(zhuǎn)角的允許誤差[Δθ]。很明顯，如果兩個(gè)式子的[ΔL]、L_max、θ₁分別相等，在擺角處，通過正弦機(jī)構(gòu)獲得的允許轉(zhuǎn)角誤差大于通過正切機(jī)構(gòu)獲得的允許轉(zhuǎn)角誤差，所以選擇正切機(jī)構(gòu)進(jìn)行精度研究可以得到更嚴(yán)格的結(jié)果。但在實(shí)際應(yīng)用中，反饋桿極限擺角不可能正好被調(diào)整到±45°，而只能給出一個(gè)極限擺角的范圍，只要極限擺角位于這個(gè)范圍中，就可以獲得足夠大的轉(zhuǎn)角允許誤差。

    不論是哪種機(jī)構(gòu)，轉(zhuǎn)角都遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于傳統(tǒng)的閥門定位器，這樣，機(jī)構(gòu)的非線性影響也就更大，不過通過軟件可以很好地解決這一問題。大轉(zhuǎn)角帶來的另一負(fù)面效應(yīng)即大的轉(zhuǎn)角不太適應(yīng)小行程的調(diào)節(jié)閥，這樣會(huì)使反饋桿的可用長(zhǎng)度過短，不利于安裝與調(diào)試。較好的解決手段就是合理的設(shè)計(jì)反饋桿等聯(lián)接件。

    2 反饋系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式

    原本對(duì)反饋系統(tǒng)可以建立運(yùn)動(dòng)方程式：

    正切機(jī)構(gòu)：φ=Karctg（ L₀/L₁）     （5）
    正弦機(jī)構(gòu)：φ=Karcsin（ L₀/L₂）    （6）

    式中：K為兩種機(jī)構(gòu)*終檢測(cè)到的轉(zhuǎn)角φ與圖1中軸O₁轉(zhuǎn)角之間的比例系數(shù)。式中的L₀與φ不是線性關(guān)系，不能用線性方法建立關(guān)于精度的方程�？紤]到該式表達(dá)的是閥桿位移和*終檢測(cè)轉(zhuǎn)角φ之間的關(guān)系，而前文已經(jīng)將閥桿的位移特性轉(zhuǎn)化為軸O₁轉(zhuǎn)角的特性，對(duì)于兩種不同的機(jī)構(gòu)，根據(jù)式（5）、式（6）及兩種機(jī)構(gòu)的方程式，可以建立并使用同一運(yùn)動(dòng)方程式：

    φ=K₁θ     （7）
    或θ=K₂φ   （8）

    這是一個(gè)線性的系統(tǒng)，K₁=1/K₂，K₁和K₂無疑是由檢測(cè)端和軸O1之間的機(jī)構(gòu)決定的，如果不能決定這個(gè)機(jī)構(gòu)，也就無法對(duì)該機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)精度作出計(jì)算。

    機(jī)構(gòu)應(yīng)具有足夠的傳動(dòng)精度，因此，必須盡量減少傳動(dòng)鏈中傳動(dòng)件的數(shù)目，縮短傳動(dòng)鏈，以減少誤差來源。同時(shí)，機(jī)構(gòu)還能將位移量放大，從而保證足夠的靈敏度和分辨率。一級(jí)齒輪機(jī)構(gòu)就是一種簡(jiǎn)單、可靠，且又能滿足要求的機(jī)構(gòu)（見圖2）。

    根據(jù)圖2，用微分法從式（7）、式（8）分別可得

    Δθ₁=K₁Δθ+Δφ     （9）
    Δθ₂=K₂Δφ+Δθ     （10）

    式中：Δθ₁和Δθ₂分別為軸O₂和軸O₁轉(zhuǎn)角輸出誤差；Δθ和Δφ則代表軸O₁和軸O₂上由各自本身因素

    引起的轉(zhuǎn)角誤差；K₁是軸O₁到軸O₂的誤差傳遞系數(shù)；K₂為軸O₂到軸O₁的誤差傳遞系數(shù)：

    K₁=Z₁/Z₂     （11）
    K₂=Z₂/Z₁     （12）

    當(dāng)然，式（9）、式（10）也可以寫成以下公式：

    Δθ₁=[（ K₁Δθ）² +（Δφ）²]^1/2     （13）
    Δθ₂=[（ K₂Δφ）² +（Δθ）²]^1/2     （14）

    在這套反饋系統(tǒng)中，軸O₂是測(cè)量參數(shù)的輸出軸，要求反饋系統(tǒng)的誤差實(shí)際上也就是求軸O₂的輸出誤差，一般而言，應(yīng)使用式（9）或式（13）。不過前文所提的轉(zhuǎn)角允許誤差為軸O₁轉(zhuǎn)角允許誤差，并且系統(tǒng)為線性系統(tǒng)，因此不妨直接使用式（10）或式（14），以軸O₁為測(cè)量參數(shù)的輸出軸，這就可以通過對(duì)軸O₁的計(jì)算輸出誤差和轉(zhuǎn)角允許誤差的比較來分配制造誤差。實(shí)際上這兩種方法是等效的。因?yàn)镵₁=1/K₂，所以Δθ₁ =K₁Δθ₂。將軸O1轉(zhuǎn)角允許誤差[Δθ₁]放大K₁倍與Δθ₁進(jìn)行比較和將Δθ₁縮小K₁倍變成Δθ₂與允許誤差[Δθ₁]進(jìn)行比較是一致的。

    3 系統(tǒng)誤差分析

    反饋系統(tǒng)檢測(cè)*終轉(zhuǎn)角的傳感器采用的是導(dǎo)電塑料電位器，其精度應(yīng)屬系統(tǒng)誤差。本處使用的傳感器給出了獨(dú)立線性度的指標(biāo)±e%，那么精度受其量程的影響。若設(shè)它的允許轉(zhuǎn)角為φ，則

    Δφ_max=e%φ （15）

    式中：Δφ_max為輸出轉(zhuǎn)角的偏差。

    前文指出，正切機(jī)構(gòu)和正弦機(jī)構(gòu)都是非線性的，如果不解決這個(gè)問題，所測(cè)得的行程和實(shí)際行程相比就會(huì)產(chǎn)生較大的誤差。例如，正切機(jī)構(gòu)的反饋桿的轉(zhuǎn)角在+30°處，反饋桿在水平位置處的桿長(zhǎng)為L(zhǎng)₁，在不進(jìn)行線性修正的情況下，可以測(cè)得閥桿相對(duì)于水平位置的行程為πL₁/6，即0.524L₁，而實(shí)際它相對(duì)于水平位置的行程為0.577L₁，即便反饋桿能擺到±45°的擺角，測(cè)量的相對(duì)誤差仍然可以達(dá)到（0.577L₁-0.524L₁）/2L₁，即2.65%，這是不能接受的。而經(jīng)過計(jì)算機(jī)軟件的計(jì)算修正處理后，正切與正弦機(jī)構(gòu)產(chǎn)生的誤差已經(jīng)很小，相對(duì)于轉(zhuǎn)角誤差可以忽略不計(jì)。

    4 隨機(jī)誤差分析

    一系列軸系是位置反饋系統(tǒng)的重要環(huán)節(jié)，軸系精度的*終反映是輸出軸的轉(zhuǎn)角誤差。軸的徑向跳動(dòng)和純擺動(dòng)是產(chǎn)生這個(gè)轉(zhuǎn)角誤差的關(guān)鍵，因此必須找出引起徑向跳動(dòng)和純擺動(dòng)的原因。

    對(duì)于反饋系統(tǒng)，可以考慮以下幾個(gè)誤差源，即齒輪的制造誤差、齒輪孔和軸之間的間隙等等。這幾個(gè)誤差的大小、方向均不明確，但分布卻符合統(tǒng)計(jì)規(guī)律，是隨機(jī)誤差。它們均可表現(xiàn)為主軸回轉(zhuǎn)中心的偏移，這種偏移造成的轉(zhuǎn)角誤差可以用下式求得

    Δψ=Esinα/R     （16）

    式中：Δψ為轉(zhuǎn)角誤差；E為各誤差所表現(xiàn)的軸系回轉(zhuǎn)中心的偏移量；α為偏心的移動(dòng)方向和測(cè)量點(diǎn)方向的方位角；R為測(cè)量點(diǎn)的半徑。分別求得各種因素引起的轉(zhuǎn)角誤差后，再按均方根合成，就可以得到軸系的轉(zhuǎn)角誤差。通過相應(yīng)的復(fù)位機(jī)構(gòu)，就能消去齒輪傳動(dòng)鏈的回程誤差。

    5 誤差計(jì)算

    在進(jìn)行誤差計(jì)算以前，應(yīng)對(duì)整個(gè)反饋系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)尺寸關(guān)系作適合工業(yè)現(xiàn)場(chǎng)條件的規(guī)定。參照前文的研究，將反饋桿的極限擺角設(shè)在±45°，同時(shí)設(shè)定一個(gè)極限擺角的范圍。為了裝配方便，以及提高系統(tǒng)的通用性與適用性，可以設(shè)反饋桿極限擺角的范圍為±25°到±45°。在安裝閥門定位器的時(shí)候，只要將軸O₁定位在（40%~60%）L的范圍內(nèi)，保證轉(zhuǎn)角在極限擺角范圍之內(nèi)，即可正確安裝。此時(shí)

    2L_max=（1~1.2）L     （17）

    將這些有利于安裝者的直觀規(guī)定轉(zhuǎn)變成位置反饋系統(tǒng)的數(shù)學(xué)條件，可知若反饋機(jī)構(gòu)是正切機(jī)構(gòu)，基準(zhǔn)線兩側(cè)行程之比為6:4 時(shí)，反饋桿的*小擺角為43°，其中基準(zhǔn)線一側(cè)的擺動(dòng)幅度達(dá)到25°。若該機(jī)構(gòu)是正弦機(jī)構(gòu)，則反饋桿的*小擺角為42°。再取*嚴(yán)格的條件，即極限擺角為25°，2L_max=1.2L，計(jì)算轉(zhuǎn)角允許誤差。

    將這些條件代入式（3），可得

    [Δθ]=[ΔL]sin50°/1.2L     （18）

    若將位置反饋系統(tǒng)的基本誤差定為±0.5%，即ΔL=±0.5%L，代入上式得

    [Δθ]=0.005sin50°/1.2=0.0032=0.1829°=10.97′

    前文已經(jīng)取誤差分配系數(shù)α=1/3，這樣系統(tǒng)誤差的允許值[Δθ]₁=α[Δθ]=3.66′，隨機(jī)誤差的允許值[Δθ]₂=（1 -α）[Δθ]=7.31′。

    現(xiàn)在計(jì)算系統(tǒng)誤差，設(shè)大小齒輪齒數(shù)之比為3，已知傳感器的獨(dú)立線性度為±0.05%，其允許轉(zhuǎn)角φ=340°，代入式（15）后，系統(tǒng)誤差Δφ_max1=0.0005×340°=0.17°=10.2′。利用式（10）計(jì)算該誤差在軸O1上產(chǎn)生的誤差，Δφ_max=Δφ_max1/3=3.4′。該誤差小于系統(tǒng)誤差的允許值。

    隨機(jī)誤差按式（14）分配
    因?yàn)椋?img alt="" border="0" src="http://www.tj88.cn/webedit/uploadfile/200710/20071025223507202.gif" />，
    所以，K₂Δφ≤[Δθ]₂/=5.17′，
    Δθ≤[Δθ]₂ /=5.17′，
    Δφ≤15.51′。

這樣，選定軸O₁、軸O₂上各個(gè)零件精度等級(jí)，將加工誤差代入式（16），計(jì)算并按均方根合成得

    σ₁=1.682′<5.17/3′=1.72′
    σ₂=4.39′<15.51/3′=5.17′

    至此可知，兩軸的精度都能達(dá)到要求。

    將隨機(jī)誤差按式（14）合成

    與系統(tǒng)誤差合成后，Δθ=3.4′+6.69′=10.09′，將其代入式（18）后計(jì)算得到位置反饋系統(tǒng)得基本誤差為±0.46%，所以系統(tǒng)精度符合要求。

    6 用于角行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)的精度

    將這套位置反饋系統(tǒng)用于角行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)，從輸入到輸出都是轉(zhuǎn)角，是一個(gè)線性的系統(tǒng)，就可以直接把基本誤差±A%乘以執(zhí)行機(jī)構(gòu)的角行程φ，得到軸O1的轉(zhuǎn)角允許誤差：

    [Δθ]=±A%φ     （19）

    我們也考慮*嚴(yán)格的情況，在*小額定行程即轉(zhuǎn)角50°的情況下，如果基本誤差仍為±0.5%，獲得的轉(zhuǎn)角允許誤差為±15′。這樣的范圍顯然要比用于直行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)的情況要寬松，因而上述計(jì)算的位置反饋系統(tǒng)也適用于角行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)。

    7 結(jié)束語(yǔ)

    對(duì)于直行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)，考慮到轉(zhuǎn)角誤差隨著反饋桿轉(zhuǎn)角的變化而變化，和安裝附件的加工裝配難度，得出擺角是45°時(shí)，能獲得*嚴(yán)格解。對(duì)于角行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)，只要將基本誤差乘以執(zhí)行機(jī)構(gòu)的額定行程即可得轉(zhuǎn)角允許誤差，適合直行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)的解也適用于角行程執(zhí)行機(jī)構(gòu)。

    我們對(duì)整個(gè)反饋系統(tǒng)進(jìn)行了設(shè)計(jì)，確定了能指導(dǎo)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)方程和誤差合成的方程，并全面的分析了反饋系統(tǒng)內(nèi)的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，*終完成了一個(gè)反饋系統(tǒng)的精度設(shè)計(jì)。還初步分析了閥門定位器的安裝條件，使其獲得良好的裝配性能。

    必須指出的是，反饋系統(tǒng)位置輸入的誤差（如執(zhí)行器的制造誤差）會(huì)造成整個(gè)系統(tǒng)誤差的變大，具體表現(xiàn)是閥門定位器工作時(shí)，實(shí)測(cè)閥位的偏差尤其是回差的變大。提高反饋系統(tǒng)精度的關(guān)鍵在于提高相關(guān)零部件的加工、制造精度和裝配精度。

原創(chuàng)作者：浙江金鋒自動(dòng)化儀表有限公司