動(dòng)水力矩是蝶閥設(shè)計(jì)中的一個(gè)重要參數(shù)，尤其是在研究管路中的水錘壓力時(shí)，應(yīng)準(zhǔn)確地了解閥門的啟閉速度和在各種開度下作用在轉(zhuǎn)軸上的力矩。當(dāng)然，對(duì)于中線對(duì)稱閥瓣的蝶閥，其力矩可按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算[1]：

        （1）

    式中，m_β為開度為β角時(shí)的動(dòng)水力矩系數(shù)；ξ_β為開度為β角時(shí)的阻力系數(shù)；ξ₀為全開（β=0）時(shí)的阻力系數(shù)；v為流速，mm/s；D為公稱通徑，mm；H為計(jì)算升壓在內(nèi)的靜水頭，mm，且

    H=9.8×10⁴（p+Δp）

    或

        （2）

    式中，b為閥瓣中心處厚度，mm；p為計(jì)算壓力，MPa；Δp為閥前壓力升值，MPa。

    式（1）中的動(dòng)水力矩系數(shù)m_β和阻力系數(shù)ξ_β等均是根據(jù)具體的閥瓣結(jié)構(gòu)和閥瓣開度等參數(shù)而確定的實(shí)驗(yàn)系數(shù)。因此，對(duì)于目前結(jié)構(gòu)形式多樣的偏心蝶閥仍舊使用上述公式計(jì)算力矩，必然會(huì)帶來較大的誤差。

    本文采用理想流體無旋流動(dòng)的假定，簡(jiǎn)化問題，求解拉普拉斯方程，得出速度的分布，然后再由伯努利方程（Bernoulli）求出閥瓣上的壓力分布，并進(jìn)而求出作用在轉(zhuǎn)軸上的力矩。

    1 同心蝶閥的動(dòng)水力矩

    同心蝶閥的動(dòng)水力矩用經(jīng)驗(yàn)公式求取，誤差比較小.下面給出一個(gè)計(jì)算實(shí)例作一直觀的了解。

    已知b=8mm，D=8Omm，v=1m/s，則由式（2）可得：H=6.351m，各開度下的系數(shù)由文獻(xiàn)[1]查表可以得到。由式（1）計(jì)算出閥瓣在各個(gè)開度下的動(dòng)水力矩，將獲得的數(shù)據(jù)處理后得到動(dòng)水力矩?cái)M合曲線，見圖1。

    由圖1可以看出：同心蝶閥的動(dòng)水力矩的值發(fā)生在開度為60°~80°之間。

    2 三偏心蝶閥的動(dòng)水力矩

    2.1 三偏心蝶閥的結(jié)構(gòu)

    三偏心是指蝶板的回轉(zhuǎn)中心0相對(duì)于蝶板中心在軸向存在偏心距c和在徑向存在偏心距e，另外，閥座所在的圓錐形的高線與閥體中心線有一個(gè)夾角φ構(gòu)成了蝶閥的第三個(gè)偏心，即角偏心。如圖2所示的三偏心蝶閥的結(jié)構(gòu)是廣為采用的θ=φ的情況，T₁T₂為三偏心蝶閥蝶板的中性面。

    2.2 三偏心蝶板的簡(jiǎn)化

    為了計(jì)算方便，在不影響計(jì)算結(jié)果的情況下，作如下簡(jiǎn)化：以中性面的長半軸為半徑，厚度保持不變，得到新的圓柱體來代替原來的蝶板。為此，給出以下數(shù)據(jù)作為計(jì)算的依據(jù)。

    管道公稱通徑為D=8Omm，公稱壓力為1.0MPa.正圓錐的半錐角θ=10°，中性面的長半軸A=39mm，蝶板厚度E=8mm。

    由圖2幾何關(guān)系可得圓錐底半徑^[2]：

    中性面的短半軸為^[2]

    為保證蝶板與閥座不發(fā)生干涉，三偏心蝶閥的偏心距取值范圍為^[2]

    徑向偏心距（3）

    軸向偏心距

    即4≤c≤16.76 （4）

    為了盡可能減小蝶閥的開啟力矩，取e=5mm，c=6mm。

    2.3 蝶板在任一位置時(shí)相關(guān)方程的推導(dǎo)

    如圖2所示，蝶板在關(guān)閉狀態(tài)ii位置時(shí)，其密封表面上任一點(diǎn)P（x，y，z）應(yīng)滿足方程：

        （5）

    即    （6）

    當(dāng)?shù)逄幱谌我馕恢胕時(shí)，設(shè)從ii到i蝶板旋轉(zhuǎn)的角度為α，則蝶板密封表面上任一點(diǎn)P₁（x₁，y₁，z₁），由旋轉(zhuǎn)變化的關(guān)系應(yīng)滿足方程^[3]：

    求解后代入式（6）可得：

        （7）

    2.4 大開度情況下的基本假定

    在計(jì)算大開度情況下蝶閥的動(dòng)水力矩時(shí)，作了如下三個(gè)基本假定。

    1）介質(zhì)是不可壓縮的理想流體，把流體看作是理想流體，在計(jì)算摩擦阻力時(shí)是行不通的。但由于現(xiàn)在求取的是壓力分布，則可以把流體假定為理想流體，必要時(shí)，可對(duì)蝶板的厚度加以修正，使計(jì)算的壓力分布更接近于實(shí)際情況。
    2）閥門處于大開度的狀態(tài)，為避免較大的誤差，假定蝶板的開度小于3O°。
    3）流態(tài)是無旋流動(dòng)。

    2.5 控制方程及邊界條件

    對(duì)于不可壓縮流體有連續(xù)方程^[4]：

    ▽v=0    （8）

    根據(jù)流動(dòng)是無旋的假定，可引入速度勢(shì)Ф，它與速度的關(guān)系為

    v=▽Φ   （9）

    由式（8，9）可得關(guān)于Ф的拉普拉斯方程：

    ▽²Φ=0    （1O）

    式（1O）的邊界條件如下：

    管道進(jìn)口處速度：
    管道出口處速度：     （11）

    管道內(nèi)壁處法向速度：
    蝶板表面處法向速度：

    式中，n指的是相應(yīng)曲面的外法線單位向量.當(dāng)進(jìn)出口截面積相等時(shí)，顯然有v_in=v_out。

    根據(jù)上述方程可求出Φ和速度v，由于流體作無旋流動(dòng)，由伯努利方程可得蝶板上的壓力分布^[5]：

        （12）

    式中，p為壓力；ρ為液體的密度；C為常量。

    2.6 網(wǎng)格的構(gòu)造與方程的差分離散

    坐標(biāo)系的選擇在處理圓管內(nèi)流動(dòng)問題時(shí)，通常采用柱坐標(biāo)，此時(shí)的管壁條件很容易處理，其法線方向即為半徑r的方向。然而，在處理蝶板邊界條件時(shí)，必須進(jìn)行兩次近似，一是將邊界點(diǎn)移到鄰近的網(wǎng)格點(diǎn)上，造成所謂的“轉(zhuǎn)移誤差”，二是在求法向?qū)?shù)的差分時(shí)，需要用插值法求值，這必然要產(chǎn)生插值誤差。

    采用圖2所示的直角坐標(biāo)系，這不僅能將式（10）簡(jiǎn)單地寫成如下形式：

        （13）

    而且蝶板上的邊界條件能被精確處理。

    2.7 計(jì)算網(wǎng)格的構(gòu)造^[6]

    如圖3所示將蝶板按步長h₁=2mm，等分為4等份，各層分別標(biāo)識(shí)為I~V，對(duì)于第I和第V層，其表面上的網(wǎng)格點(diǎn)均為邊界點(diǎn)，與邊界條件有關(guān)，第Ⅱ~Ⅳ層上的網(wǎng)格點(diǎn)除去圓周上的點(diǎn)均為內(nèi)部點(diǎn)。由于蝶板關(guān)于y′軸對(duì)稱，故只需計(jì)算蝶板對(duì)稱一側(cè)的點(diǎn)即可。

    2.8 方程的差分離散[7]

    對(duì)于式（13）其二階偏導(dǎo)數(shù)用中心差分逼近，即五點(diǎn)差分格式，簡(jiǎn)化如下：

        （14）

    對(duì)和也可以給出類似的結(jié)果，把它們代入到式（13）得到差分離散后關(guān)于Φ的拉普拉斯方程（七點(diǎn)差分格式）：

        （15）

    式中，i，j，k分別表示x，y，z方向網(wǎng)格點(diǎn)的下標(biāo)，h_x，h_y，h_z分別是三個(gè)方向的網(wǎng)格步長。

    2.9 邊界條件的處理

    對(duì)于進(jìn)口邊界條件用向前差分格式，而出口截面的邊界條件用后差，例如對(duì)于出口有：

    v_out=（Φ_N-Φ_N-1）/h_N-1    （16）

    選用直角坐標(biāo)后，蝶板上表面的邊界條件為

        （17）

    在作差分離散時(shí)，對(duì)于上表面及均用前差，對(duì)于下表面也有類似的結(jié)果，但離散時(shí)要求用后差。

    3 計(jì)算方法

    3.1 拉普拉斯方程的數(shù)值求解法

    拉普拉斯方程的求解方法很多，不逐一列舉，作為初步計(jì)算，可用高斯一塞德爾迭代法^[5]，盡管此方法收斂速度慢，但它所需的內(nèi)存*少，可以逐點(diǎn)迭代推進(jìn)，計(jì)算方法比較成熟。對(duì)于式（14）所示的差分方程，可用高斯-塞德爾法寫出它的迭代公式，為使公式不至太冗長，暫時(shí)令網(wǎng)格為等距網(wǎng)格。

    3.2 步長的選擇

    既要保證計(jì)算精度，又要節(jié)省計(jì)算機(jī)的內(nèi)存和計(jì)算的時(shí)間，步長的選擇不宜過小，劃分的網(wǎng)格不宜過密，這里采用等間距的網(wǎng)格點(diǎn)。x方向的步長h_x=3mm，為了使對(duì)應(yīng)的網(wǎng)格點(diǎn)能夠精確地落在蝶板上，避免“轉(zhuǎn)移誤差”，y方向的步長h_y應(yīng)由蝶板開度β和z方向的步長h_z決定。即有如下幾何關(guān)系：

    h_y=h_ztanβ    （18）

    若沿蝶板傾斜的方向（即y′軸的方向）取等分步長h=3mm，則有

    故（19）

    若取β=30°，則有h_y=1.5，h_z=2.598，蝶板開度為β時(shí)其左側(cè)起始坐標(biāo)設(shè)為y₀，z₀，右側(cè)坐標(biāo)設(shè)為y_n，如圖3所示。

    3.3 差分方程的迭代公式

    由以上分析知沿坐標(biāo)軸三個(gè)方向的步長均為等間距，分別為h_x=3mm，h_y=1.5mm，h_z=2.598mm，令

    則迭代公式為

        （2O）

    式中，上標(biāo)n表示前一迭代層的值，而n+1則表示這一迭代層的值。

    3.4 迭代收斂準(zhǔn)則的選取

    在計(jì)算中選用的收斂準(zhǔn)則為^[8]

    △Φ^max_i,j,k |Φⁿ⁺¹_i,j,k - Φ_i,j,k ⁿ|<ε（21）

    3.5 動(dòng)水力矩的求取

    在用伯努利方程求出壓力之后，就可以計(jì)算作用在蝶板微元面積上的力，進(jìn)而求出相應(yīng)的力矩。對(duì)于蝶板內(nèi)部的網(wǎng)格點(diǎn)M，在該點(diǎn)的壓強(qiáng)求出之后，以M點(diǎn)為中心，分別向前、后、左、右延伸相應(yīng)的半個(gè)步長所形成的矩形面積作為壓強(qiáng)作用面，求出壓力后，把M點(diǎn)作為力的作用點(diǎn)求出對(duì)旋轉(zhuǎn)軸的力矩。對(duì)于與蝶板邊界近鄰的網(wǎng)格點(diǎn)，可按類似的方法構(gòu)筑近似的面積。但由于理想流體的假定會(huì)使近邊緣處壓差計(jì)算值偏大，因此要作必要的修正。

    4 舉例

    對(duì)三偏心蝶閥的流場(chǎng)和壓力分別進(jìn)行計(jì)算，得出在不同開度下所對(duì)應(yīng)的動(dòng)水力矩。圖4和圖5表示改變徑向偏心和軸向偏心時(shí)相應(yīng)的擬合曲線[9]。

    5 結(jié)論

    1）三偏心蝶閥的動(dòng)水力矩值發(fā)生在蝶板完全關(guān)閉的瞬間。
    2）三偏心蝶閥的動(dòng)水力矩對(duì)操作扭矩的影響不是很大。
    3）三偏心蝶閥的操作扭矩主要是由閥座與蝶板間的壓力以及閥桿與密封件、軸承之間的摩擦力決定的。

原創(chuàng)作者：浙江金鋒自動(dòng)化儀表有限公司